Clase de resturi
O mulţime specială de obiecte matematice, pe care s-au definit două operaţii algebrice, numite adunare si înmulţire modulo n, prezintă proprietăţi interesante, cu multiple aplicaţii teoretice şi practice.
Ea se numeşte mulţimea claselor de resturi modulo n şi îşi are originea în teorema împărţirii cu rest în Z.
O prezentare a aspectelor teoretice esenţiale, precum şi a unor aplicaţii semnificative urmează în cele de mai jos:
Teorema impartirii cu rest in multimea numerelor intregi:
Fiind dat un numar natural n, nenul, pentru orice numar intreg k exista numerele unice q (intreg) si r (natural, mai mic decat n), astfel incat a = nq + r.
Observatii:
1) Numarul q este catul, iar r este restul impartirii numarului a la n.
2) Notatie: r = a(mod n); se citeste "a modulo n" si r se numeste redusul modulo n al numarului a.
3) Imaginandu-ne ca impartim toate numerele intregi la n, este evident ca resturile obtinute sunt mai mari sau egale cu 0 (in cazul multiplilor lui n), dar mai mici, cel mult egale cu n - 1; deci exista exact n tipuri de numere intregi, care se constituie in n submultimi, disjuncte 2 cate 2, a caror reuniune formeaza multimea Z (se spune ca se defineste astfel o partitie a multimii numerelor intregi).In cazul particular n = 5, se noteaza astfel:
4) In general, pentru un n oarecare, submultimile respective sunt:
ele continand toate numerele intregi de forma nk, nk + 1, nk + 2, ... , respectiv nk + (n - 1),unde k parcurge multimea Z.
Ea se numeşte mulţimea claselor de resturi modulo n şi îşi are originea în teorema împărţirii cu rest în Z.
O prezentare a aspectelor teoretice esenţiale, precum şi a unor aplicaţii semnificative urmează în cele de mai jos:
Teorema impartirii cu rest in multimea numerelor intregi:
Fiind dat un numar natural n, nenul, pentru orice numar intreg k exista numerele unice q (intreg) si r (natural, mai mic decat n), astfel incat a = nq + r.
Observatii:
1) Numarul q este catul, iar r este restul impartirii numarului a la n.
2) Notatie: r = a(mod n); se citeste "a modulo n" si r se numeste redusul modulo n al numarului a.
3) Imaginandu-ne ca impartim toate numerele intregi la n, este evident ca resturile obtinute sunt mai mari sau egale cu 0 (in cazul multiplilor lui n), dar mai mici, cel mult egale cu n - 1; deci exista exact n tipuri de numere intregi, care se constituie in n submultimi, disjuncte 2 cate 2, a caror reuniune formeaza multimea Z (se spune ca se defineste astfel o partitie a multimii numerelor intregi).In cazul particular n = 5, se noteaza astfel:
4) In general, pentru un n oarecare, submultimile respective sunt:
ele continand toate numerele intregi de forma nk, nk + 1, nk + 2, ... , respectiv nk + (n - 1),unde k parcurge multimea Z.