1. Legi de compoziţie
Def. Fie M o mulţime nevidă. O aplicaţie φ: MxM →M, (x,y)→φ(x,y) se numeşte lege de compoziţie (internă) sau operaţie algebrică binară pe mulţimea M. Elementul φ(x,y) apartine lui M se numeşte compusul lui x cu y prin φ.
Tabla legii de compoziţie
(tabla lui Cayley), când numărul elementelor mulţimii M este suficient de mic.
Parte stabila:
Fie M o mulţime nevidă înzestrată cu o lege de compoziţie „*” şi H inclus in M, H submulţime nevidă. H este parte stabilă a lui M în raport cu legea de compoziţie „*”, dacă: oricare ar fi x,y apartin lui H rezulta ca x*y apartin lui H.
Asociativitatea:
O lege de compoziţie „*” se numeşte asociativă dacă: (x*y)*z = x*(y*z), oricare ar fi x,y,z apartin lui M.
Comutativitatea:
O lege de compoziţie „*” se numeşte asociativă dacă: x*y = y*x, oricare ar fi x,y apartin lui M.
Element neutru:
Un element e apartine lui M se numeşte element neutru pentru legea de compoziţie „*”, dacă oricare ar fi x apartine lui M avem x*e=e*x=x. Dacă o lege de compoziţie admite element neutru, atunci acesta este unic.
Element simetric:
Fie M o mulţime nevidă înzestrată cu o lege de compoziţie „*” asociativă şi cu element neutru e. Un element x apartine lui M este simetrizabil în raport cu legea de compoziţie „*”, dacă există x' apartine lui M astfel încât x'*x=x*x'=e. Elementul x' se numeşte simetricul lui x.
Teoremă.
Dacă x,y apartin lui M sunt simetrizabile în raport cu o lege de compoziţie „*” (asociativă şi cu element neutru), atunci x*y şi x' sunt simetrizabile şi: (x*y)' = y'*x'; (x')' =x.