1. Monoid:
Fie (M,*), MxM→M, (x,y)x*y, M-nevidã. Axiomele monoidului:
M1.(x*y)*z = x*(y*z) oricare ar fi x,y,z apartine lui M (asociativitatea);
M2. exista e care apartine lui M astfel încât x*e = e*x = x, oricare ar fi x apartine lui M (e element neutru);
dacã M3. x*y = y*x, oricare ar fi x,y apartin lui M monoidul este comutativ.
Ex: 1. (N,+), (N, . ) sunt monoizi comutativi;
2. (F(E),o) monoid necomutativ (F(E) este mulţimea funcţiilor f:E→E, E – nevidã, o- compunerea funcţiilor).
Fie (M,*), MxM→M, (x,y)x*y, M-nevidã. Axiomele monoidului:
M1.(x*y)*z = x*(y*z) oricare ar fi x,y,z apartine lui M (asociativitatea);
M2. exista e care apartine lui M astfel încât x*e = e*x = x, oricare ar fi x apartine lui M (e element neutru);
dacã M3. x*y = y*x, oricare ar fi x,y apartin lui M monoidul este comutativ.
Ex: 1. (N,+), (N, . ) sunt monoizi comutativi;
2. (F(E),o) monoid necomutativ (F(E) este mulţimea funcţiilor f:E→E, E – nevidã, o- compunerea funcţiilor).
2. Grup
Fie (G,*), GxG®G, (x,y)®x*y, G-nevidã.
Axiomele grupului:
G1. (x*y)*z = x*(y*z) "x,y,zÎG(asociativitatea);
G2. $ eÎG astfel încât x*e = e*x = x "xÎG (e element neutru);
G3. " xÎG $ x'ÎG astfel încât x'*x = x*x' = e (x' simetricul lui x);
dacã G4. x*y = y*x, "x,yÎG grupul este comutativ (sau abelian).
Ex: 1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) - grupuri comutative;
2. (Rn,Å) - grupul resturilor modulo n, comutativ;
3. (Mn(Z),+) - grupul matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din Z;
4. (K, o) - grupul lui Klein (al simetriilor fatã de sistemul de coordonate),
comutativ;
5. (sn, o) - grupul simetric de grad n (al permutãrilor de nelemente) nu este
comutativ;
Definitia XVII.2.1. Fie (G,*) grup, HÌG, H este subgrup dacã " x,yÎH Þ x*yÎH si " xÎH Þ x'ÎH (x' este simetricul lui x în raport cu operatia *);
Fie grupurile (G1,^), (G2,D):
Definitia XVII.2.2. f:G1®G2 se numeste morfism de grupuri dacã f(x^y)=f(x)Df(y), "x,yÎG1.
Definitia XVII.2.3. f:G1®G2 se numeste izomorfism de grupuri dacã f este bijectivã si f(x^y)=f(x)Df(y), "x,yÎG1.
Definitia XVII.2.4. f:G1®G2 se numeste automorfism (endomorfism) al grupului G1, dacã f este un izomorfism (morfism).
Axiomele grupului:
G1. (x*y)*z = x*(y*z) "x,y,zÎG(asociativitatea);
G2. $ eÎG astfel încât x*e = e*x = x "xÎG (e element neutru);
G3. " xÎG $ x'ÎG astfel încât x'*x = x*x' = e (x' simetricul lui x);
dacã G4. x*y = y*x, "x,yÎG grupul este comutativ (sau abelian).
Ex: 1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) - grupuri comutative;
2. (Rn,Å) - grupul resturilor modulo n, comutativ;
3. (Mn(Z),+) - grupul matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din Z;
4. (K, o) - grupul lui Klein (al simetriilor fatã de sistemul de coordonate),
comutativ;
5. (sn, o) - grupul simetric de grad n (al permutãrilor de nelemente) nu este
comutativ;
Definitia XVII.2.1. Fie (G,*) grup, HÌG, H este subgrup dacã " x,yÎH Þ x*yÎH si " xÎH Þ x'ÎH (x' este simetricul lui x în raport cu operatia *);
Fie grupurile (G1,^), (G2,D):
Definitia XVII.2.2. f:G1®G2 se numeste morfism de grupuri dacã f(x^y)=f(x)Df(y), "x,yÎG1.
Definitia XVII.2.3. f:G1®G2 se numeste izomorfism de grupuri dacã f este bijectivã si f(x^y)=f(x)Df(y), "x,yÎG1.
Definitia XVII.2.4. f:G1®G2 se numeste automorfism (endomorfism) al grupului G1, dacã f este un izomorfism (morfism).
3. Inel:
Fie (A,+,·), AxA®A, (x,y)®x+y si AxA®A, (x,y)®x·y, A nevidã;
Definitia XVII.3.1. (A,+,·) este inel dacã:
G. (A,+) este grup abelian;
M. (A,·) este monoid si
D. · este distributivã fatã de +:
x·(y+z) = x·y + y·z
(y+z)·x = y·x + y·z, "x,y,zÎA
dacã C. x·y = y·x "x,yÎA, inelul este comutativ.
Exemple de inele:
1. (Z,+,×) - inelul numerelor întregi;
2. (Z[i],+, ×) - inelul întregilor lui Gauss, Z[i] =
3. (Rn,Å,Ä) - inelul resturilor modulo n;
4. (Mn(A),+,×) - inelul matricelor pãtratice (cu elemente din inelul A);
5. (Zn,+,×) - inelul claselor de resturi modulo n.
Fie inelele (A,^,*) si (A',D,o):
Definitia XVII.3.1. f:A®A' se numeste izomorfism de inele dacã f este bijectivã si f(x^y) = f(x)Df(y), f(x*y) = f(x)of(y), "x,yÎA.
Definitia XVII.3.2. (A,+,·) este inel fãrã divizori ai lui zero dacã x¹0, y¹0 implicã x·y¹0.
Definitia XVII.3.3. Un inel comutativ cu cel putin douã elemente si fãrã divizori ai lui zero se numeste domeniu integritate.
Definitia XVII.3.4. Dacã (A,+,×) este inel, atunci (A[X],+ ,×) este inelul comutativ al polinoamelor cu coeficienti în A.
fÎA[X], f = a0 + a1X + a^2X^2 + . + anXn este forma algebricã a unui polinom de nedeterminatã X cu coeficienti în A:
- dacã an¹0, grad f = n (an - coeficient dominant);
- dacã a0 = a1 = . = an, f = 0 (polinom nul), grad 0 = -¥.
Proprietãti: 1. grad (f+g) £ max;
2. grad f×g £ grad f + grad g.
Teoremã. Dacã A este domeniu de integritate atunci A[X] este domeniu de integritate si grad f×g = grad f + grad g, "f,gÎA[X].
4. Corp:
Fie (K,+,·), KxK®K, (x,y)®x+y si KxK®k, (x,y)®x·y, K - nevidã.
Definitia XVII.4.1. (K,+,·) este corp dacã (K,+,·) este inel, 0¹1 si "xÎK, x¹0 Þ $ x-1ÎK, astfel încât x·x-1 = x-1 ·x = 1.
Dacã x·y = y·x "x,yÎK, corpul este comutativ.
Exemple de corpuri:
1. (Q,+,×) - corpul numerelor rationale;
2. (R,+, ×) - corpul numerelor reale;
3. (C,+, ×) - corpul numerelor complexe;
4. (Q(),+,×) - corpul numerelor pãtratice (dÎZ, d - liber de pãtrate);
5. (Zp,+, ×) - corpul claselor de resturi modulo p (pÎN*, p >1, p - numãr prim).
Definitia XVII.4.2. Fie corpurile (K,^,*) si (K',D,o), f:K®K' este izomorfism de corpuri dacã f este bijectivã, f(x^y) = f(x) D f(y), f(x*y) = f(x) o f(y) "x,yÎR.
Teorema împãrtirii cu rest în multimea K[X], K corp comutativ si gÎK[X], g¹0: "fÎK[X], existã polinoamele q,rÎK[X], unic determinate astfel încât f = q×g+r, grad r < grad g.
Definitia XVII.4.1. (K,+,·) este corp dacã (K,+,·) este inel, 0¹1 si "xÎK, x¹0 Þ $ x-1ÎK, astfel încât x·x-1 = x-1 ·x = 1.
Dacã x·y = y·x "x,yÎK, corpul este comutativ.
Exemple de corpuri:
1. (Q,+,×) - corpul numerelor rationale;
2. (R,+, ×) - corpul numerelor reale;
3. (C,+, ×) - corpul numerelor complexe;
4. (Q(),+,×) - corpul numerelor pãtratice (dÎZ, d - liber de pãtrate);
5. (Zp,+, ×) - corpul claselor de resturi modulo p (pÎN*, p >1, p - numãr prim).
Definitia XVII.4.2. Fie corpurile (K,^,*) si (K',D,o), f:K®K' este izomorfism de corpuri dacã f este bijectivã, f(x^y) = f(x) D f(y), f(x*y) = f(x) o f(y) "x,yÎR.
Teorema împãrtirii cu rest în multimea K[X], K corp comutativ si gÎK[X], g¹0: "fÎK[X], existã polinoamele q,rÎK[X], unic determinate astfel încât f = q×g+r, grad r < grad g.